（一）导数与导函数

导数

设函数y=f(x)在点x

₀的某个邻域内有定义，当自变量x在x

₀处有增量Δx，(x

₀+Δx)也在该邻域内时，相应地函数取得增量Δy=f(x

₀+Δx)-f(x

₀)；如果Δy与Δx之比当Δx→0时极限存在，则称函数y=f(x)在点x

₀处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x

₀处的导数记作

①f'(x

₀) ；

②y'│

_x=x0 ；

③

│

_x=x0， 即

导函数

如果函数y=f(x)在开区间内每一点都可导，就称函数f(x)在区间内可导。这时函数y=f(x)对于区间内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数y=f(x)的导函数，记作y'、f'(x)、dy/dx或df(x)/dx，简称导数。

导数是微积分的一个重要的支柱。牛顿及莱布尼茨对此做出了卓越的贡献。

几何意义

函数y=f(x)在x

₀点的导数f'(x

₀)的几何意义：表示函数曲线在点P

₀(x

₀,f(x

₀))处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。

 

 

 

（二）牛顿迭代法

 牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。另外该方法广泛用于计算机编程中。

 设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y = f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值。

过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。

 根据牛顿迭代的原理，可以得到以下的计算sqrt（n）的迭代公式：X(n+1)=[X(n)+p/Xn]/2。详细解释见下文。

一般性的编程方法如下：

1 double sqr(double n) { 2     double k=1.0; 3     while(abs(k*k-n)>1e-9) { 4         k=(k+n/k)/2; 5     } 6     return k; 7 }

（三）利用牛顿迭代法计算开平方根

这种算法的原理很简单，我们仅仅是不断用(x,f(x))的切线来逼近方程x^2-a=0的根。根号a实际上就是x^2-a=0的一个正实根，这个函数的导数是2x。也就是说，函数上任一点(x,f(x))处的切线斜率是2x。那么，x-f(x)/(2x)就是一个比x更接近的近似值。代入f(x)=x^2-a得到x-(x^2-a)/(2x)，也就是(x+a/x)/2。

 过程如下：

首先随便猜一个近似值x，然后不断令x等于x和a/x的平均数，迭代个六七次后x的值就已经相当精确了。

例如，我想求根号2等于多少。假如我猜测的结果为4，虽然错的离谱，但你可以看到使用牛顿迭代法后这个值很快就趋近于根号2了：

(       4  + 2/   4     ) / 2 = 2.25

(    2.25  + 2/   2.25  ) / 2 = 1.56944..

( 1.56944..+ 2/1.56944..) / 2 = 1.42189..

( 1.42189..+ 2/1.42189..) / 2 = 1.41423..

 下面用C语言实现一遍：

1 #include "stdio.h" 2 #include "math.h" 3  4 int main(void) 5 { 6     double n,y=1.0; 7  8     printf("请输入一个需要求其平方根的数："); 9     scanf("%lf",&n);10 11     // 反复代入 x(k+1) = 0.5[x(k)+n/x(k)]12     while(fabs((1.0/2.0*(y+n/y))-y)>=0.00001)13     {14         y=1.0/2.0*(y+n/y);15         printf( "y=%lf\n", y );16     }17     printf("平方根为%f\n",y);18     return 0;19 }

程序运行结果：

请输入一个需要求其平方根的数：2y=1.500000y=1.416667y=1.414216平方根为1.414216请输入一个需要求其平方根的数：3y=2.000000y=1.750000y=1.732143y=1.732051平方根为1.732051

 

 更快的方法

 1999年12月，美国id Software公司发布了名为“雷神之锤III”的电子游戏。它是第一个支持软件加速的游戏，取得了极大成功。（由于影响力过大，文化部于2004年将它列入了非法游戏名单）

雷神之锤III并不是id Software公司的第一次成功。早在1993年开始，这家公司就以“毁灭战士”系列游戏名闻天下。1995年，“毁灭战士”的安装数超过了当年微软的windows 95。据传比尔盖茨才曾经考虑买下id software。（id software公司后来被推出过“上古卷轴”系列的Bethesda公司买下）

id Software所取得的成功很大程度上要归功于它的创始人约翰·卡马克。马克尔也是一个著名的程序员，他是id Software游戏引擎的主要负责人。 回到刚才提到的雷神之锤，马克尔是开源软件的积极推动者，他于2005年公布了雷神之锤III的源代码。至此人们得以通过研究这款游戏引擎的源文件来查看它成功的秘密。

在其中一个名字为q_math.c的文件中发现了如下代码段。

1 float Q_rsqrt( float number ) {  2     long i; float x2, y; const float threehalfs = 1.5F; 3     x2 = number * 0.5F;  4     y = number;  5     i = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking  6     i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck?  7     y = * ( float * ) &i;  8     y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration  9     // y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed10     #ifndef Q3_VM #11     ifdef __linux__ assert( !isnan(y) ); // bk010122 - FPE?12     #endif13     #endif return y; 14 }

这段代码的作用就是求number的平方根，并且返回它的倒数。经测试这段代码比(float)(1.0/sqrt(x))快4倍。

 以雷神之锤III程序为蓝本可以写出比sqrt()更强大的求平方根函数：

1     int sqrt(float x) {    2         if(x == 0) return 0;    3         float result = x;    4         float xhalf = 0.5f*result;    5         int i = *(int*)&result;    6         i = 0x5f375a86- (i>>1); // what the fuck?    7         result = *(float*)&i;    8         result = result*(1.5f-xhalf*result*result); // Newton step, repeating increases accuracy    9         result = result*(1.5f-xhalf*result*result);   10         return 1.0f/result;   11     }

 

 参考：

http://www.nowamagic.net/librarys/veda/detail/2268

http://www.matrix67.com/blog/archives/361

http://blog.csdn.net/wangxiaojun911/article/details/18203333

http://www.cnblogs.com/huashanqingzhu/p/3615543.html